DIMENSIONAMENTO DEL CILINDRO

Calcolo delle tensioni ammissibili e del coefficiente di sicurezza  

Si presenta il problema di dimensionare il cilindro che servirà alla movimentazione del sistema di chiusura dei bracci dell’attrezzatura.

In prima battuta si dimensiona la camicia del cilindro, elemento che lavora soggetto alla pressione interna esercitata dal fluido di lavoro.

La presenza del pistone all’interno, che tramite la traslazione permette il meccanismo d’apertura e chiusura dei bracci, impone una lavorazione molto accurata dell’interno della camicia e di conseguenza di tolleranze piuttosto strette, peculiarità che invece non è richiesta per l’esterno. La precisione della finitura deve essere tanto più spinta quanto più è elevata la pressione di lavoro e la velocità di traslazione relativa tra camicia e pistone.

Si propone di utilizzare un acciaio Fe510, che presenta le seguenti caratteristiche meccaniche: tensione di rottura a trazione R=510 e tensione di snervamento Rs=355. Per il dimensionamento è necessario anche conoscere il coefficiente di sicurezza:

                            η=

Dove i termini corrispondono:

	: tiene conto dell’incertezza derivante dalla modellazione della situazione di carico, può assumere un valore tra 1 e 3, nel nostro caso pari ad 1 dato che il modello dei carichi è noto.
	: tiene conto dell’incertezza derivante dalle approssimazioni sulla resistenza del materiale utilizzato, varia da 1 a 5, anche in questo caso possiamo tranquillamente porre il coefficiente pari ad 1 poiché il materiale è più conosciuto, in più si prende come tensione do verifica il limite di snervamento.
	: coefficiente che rende conto delle incertezze sulla modellazione della struttura, avendo scelto di utilizzare la schematizzazione dei tubi assialsimmetrici, questo coefficiente è imposto pari ad 1,2.
	: questo è un importante coefficiente,tiene conto del fatto che un cedimento della parte in esame possa compromettere il corretto funzionamento della ‘macchina’; nel nostro caso assunto pari ad 1,3.
	:quest’ultimo è un coefficiente di sicurezza finale ,posto a scopo cautelativo pari ad 1,9.

Queste assunzioni portano ad un coefficiente finale pari ad:

                                          η=2,9

Possiamo quindi ricavare la tensione ammissibile di confronto per la verifica:

                                 =122Mpa

Dai dati di progetto possiamo desumere la spinta necessaria per la movimentazione :

Conosco la pressione 14Mpa , e la spinta assiale richiesta,variabile in funzione del modello della pinza (implicitamente della portata della stessa):

Calcolo del diametro interno

Sfruttando la relazione tra forza e pressione distribuita su una superficie posso ricavare il diametro interno della camicia:

Da cui ricavo l’espressione del diametro interno:

I risultati vengono poi arrotondati al valore massimo immediatamente superiore.

I risultati del calcolo vengono riportati di seguito in una tabella in funzione della portata della pinza:

Calcolo del diametro esterno

Seguendo la normativa vigente per i tubi assialsimmetrici in pressione , il rapporto tra diametro interno ed esterno deve rispettare la seguente disuguaglianza:

Da questa si ricava il valore minimo del diametro esterno:

Ovviamente anche questo viene arrotondato al valore massimo immediatamente superiore.

Le restanti dimensioni geometriche non hanno importanza sotto il profilo della resistenza della camicia e quindi verranno dimensionate in rapporto alla corsa e alle parti che fungeranno da giunzione alla pinza.

Verifica resistenza alle sollecitazioni

A questo punto è corretto fare una verifica della resistenza della camicia:conosco il sistema di tensioni che insiste sulla parte in esame e rispettivamente

La normativa mi permette di conoscere la sezione più sollecitata ,che è all’intradosso ,dove ho la presenza delle seguenti sollecitazioni (la cui espressione è per l’appunto ricavata dalle norme sui tubi assial-simmetrici)

A e B sono due costanti ricavabili dalle condizioni al contorno: per noi sono noti i valori della  all’intradosso e all’estradosso , e quindi rispettivamente per  e  di ogni modello.

Imponendo dunque:

Ricavo il valore delle due costanti pari a :

I risultati numerici verranno riportati in tabella :

:

Ricordiamo che effettuando la verifica all’intradosso la è sempre pari a –p.

Per la verifica si usa il criterio di Guest-Tresca,che impone che

Per il materiale che abbiamo scelto, ricordiamo che la è pari a 122Mpa,quindi il valore massimo che può assumere la  è pari a 61Mpa,il che è sempre verificato.

Volendo fare un’ulteriore analisi si può adottare la teoria di Von Mises,che rimane più vicina alle condizioni reali di esercizio ,ma propone una verifica che risulta meno cautelativa del metodo precedentemente adottato.Secondo Von Mises la sollecitazione di confronto si calcola come :

Dove ovviamente ,nel nostro caso, i termini dove è presente  non compaiono.

La sollecitazione agente sulla camicia dei vari modelli risulta essere pertanto:

Anche con questo metodo la parte in esame risulta sempre verificata.

Volendo poi approfondire ancora di più l’esame possiamo notare che le verifiche precedenti sono state formulate sotto l’ipotesi di assenza di forze in direzione assiale ,condizione vera se il tubo è aperto in entrambe le estremità,ma il cilindro presenta un fondo saldato; questo comporta l’innescarsi di una forza assiale .

Possiamo fare una valutazione numerica studiando la camicia come semplice corpo assial-simmetrico sottoposto a pressione interna , per cui valgono le seguenti relazioni:

dove :                                     

Nel nostro caso è uguale per tutti i modelli ed è pari a 1,14,da che ne consegue:

Adottando ,per la verifica con questi dati ,ancora il criterio di Von Mises ottengo una  pari a 71,35 Mpa,quindi anche rendendo più competa l’analisi la camicia continua a resistere alle sollecitazioni cui è sottoposta.

Dimensionamento dello stelo del pistone

Per lo stelo si sceglie un altro tipo di materiale il C40 caratterizzato da un  pari a 320 Mpa e da un modulo di Young, E, pari a 210000 Mpa. Il coefficiente di sicurezza scelto è pari a 2,5.

Il dimensionamento si esegue notando che si può equiparare lo stelo ad una trave con applicato un carico di punta,vincolata con cerniera e carrello; dalle normative si ricava che in questo caso la lunghezza libera di inflessione coincide con la lunghezza fisica della trave ,da noi considerata pari alla distanza tra i due punti di collegamento al braccio in caso di completa estensione del pistone .

E’ quindi possibile applicare la legge di instabilità di Eulero per i corpi a sezione circolare che ci permette di ricavare il diametro dello stelo per cui non abbiamo inflessione :

Dove:

  =        raggio d’inerzia per sezioni circolari, pari quindi a  d/4

L_libera=      lunghezza libera di inflessione , pari come gia riportato sopra alla lunghezza fisica della trave, come ricavato dalle normative

Per ottenere il diametro minimo del pistone ,anzi dei pistoni visto che nel nostri caso ne vengono montati due,è sufficiente imporre che la sollecitazione critica sia pari a quella generata dai pistoni,ovviamente relativa ai tre modelli analizzati.

Dove :

          n=      numero di pistoni

          F_max=  spinta massima sviluppabile dal singolo pistone

Ottengo quindi , sostituendo nella formula di Eulero:

Andando quindi a sostituire nella formula appena ricavata i valori della lunghezza del pistone; ricavata calcolando la distanza tra le due boccole di accoppiamento in caso di completa estensione del pistone(circa 925 mm), e la forza massima sviluppabile dal singolo pistone dimensionato ottengo la seguenti misure,riportate in tabella per favorirne la visualizzazione:

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